Lois de Snell-Descartes de la réfraction

1. Vocabulaire de la réfraction, définitions
2. Première loi de la réfraction de Snell-Descartes
3. Deuxième loi de la réfraction de Snell-Descartes
4. Prévoir la valeur de l’angle de réfraction
5. Déterminer l’angle d’incidence
6. Déterminer l’indice de réfraction d’un milieu
7. Réflexion totale

La réfraction de la lumière dans des milieux transparents et homogènes est décrite par les lois de Snell-Descartes. Ces lois ont été établies presque simultanément au cours de la première moitié du XVIIème siècle par le néerlandais Willebrord Snell et le français René Descartes

Remarque: il existe également des lois dites également de “Snell-Descartes” dédiées à la description du phénomène de réflexion de la lumière.

Vocabulaire de la réfraction, définitions

La formulation des lois de Snell-Descartes nécessite de définir dans un premier temps certains nombre d’éléments, de grandeurs et de notations.

• Surface de séparation: il s’agit de la surface de contact entre les deux milieux où la lumière se propage (avant et après la réfraction).
• Rayon incident: il s’agit d’un rayon lumineux représentant la propagation de la lumière dans le premier milieu (avant la réfraction)
• Rayon réfracté: il s’agit du rayon lumineux représentant la propagation de la lumière dans le deuxième milieu, après réfraction de la lumière.
• Point d’incidence: souvent noté I (en majuscule pour ne pas confondre avec un angle) il correspond au point de la surface de séparation atteint par le rayon incident.
• Normale (au point d’incidence): c’est une droite passant par le point d’incidence et perpendiculaire à la surface de séparation.
• Angle d’incidence: souvent noté i (ou i1) il correspond à l’angle entre le rayon d’incidence et la normale.
• Angle de réfraction: souvent noté r ou i2, il correspond à l’angle entre le rayon réfracté et la normale.

Première loi de la réfraction de Snell-Descartes

Enoncé: Le rayon réfracté appartient au même plan que la normale et le rayon incident.

Cette loi peut paraître anecdotique mais elle est apporte cependant une précision indispensable. En effet la connaîssance de l’angle de réfraction (par rapport à la normale) n’est pas suffisant pour définir la localistion du rayon réfracté puisqu’en géométrie dans l’espace il existe une infinité de droite formant un angle donné par rapport à cette normale (elles forment un cône dont la normale constitue l’axe de symétrie).

Deuxième loi de la réfraction de Snell-Descartes

Elle établit une relation entre l’angle d’incidence, l’angle de réfraction et les indice de réfraction des milieux:

n1.sin(i1) = n2.sin(i2)

où

• n1 est l’indice de réfraction du premier milieu (celui du rayon d’incidence)
• n2 est l’indice de réfraction du deuxième milieu (celui du rayon réfracté)
• i1 est l’angle d’incidence
• i2 est l’angle de réfraction

Si l’on étudie par exemple la réfraction subie par la lumière lorsqu’elle passe de l’air à l’eau cette relation peut s’écrire:

n_air.sin(i1) = n_eau.sin(i2)

Puisque l’indice de réfraction de l’aire vaut 1 la relation devient:

sin(i1) = n_eau.sin(i2)

Prévoir la valeur de l’angle de réfraction

Si les indices de réfraction des milieux (n1 et n2) ainsi que l’angle d’incidence sont connu alors la deuxième loi de la réfraction de Snell-Descartes permet de déterminer la valeur de l’angle de réfraction:

n1.sin(i1) = n2.sin(i2)

on en tire la valeur du sinus de l’angle de réfraction.

sin(i2) = (n1.sin(i1)) / n2

Pour en déduire la valeur de l’angle il suffit d’utiliser la fonction arcsinus (réciproque de la fonction sinus) à l’aide de la calculatrice:

i2 = arcsin ( n1.sin(i1) / n2 ) 

Attention cependant à ce que le mode “degré” soit bien sélectionnée sinon le résultat de l’arcsinus sera fourni en radian (une autre unité d’angle)

Déterminer l’angle d’incidence

Il est également possible d’utiliser la seconde loi de Snell-Descartes pour trouver la valeur de l’angle d’incidence à condition de connaître la valeur des indices de réfraction et de l’angle de réfraction:

n1.sin(i1) = n2.sin(i2)

On en tire la valeur du sinus de l’angle d’incidence:

sin(i1) = (n2.sin(i2) / n1 )

La fonction sinus de la calculatrice permet d’en déduire la valeur de l’angle:

i1 = arcsin ( n2.sin(i2) / n1 ) 

Déterminer l’indice de réfraction d’un milieu

Si les angle de réfraction et d’incidence ainsi que l’indice de réfraction de l’un des milieux sont connus alors il est possible d’en déduire de la valeur de l’autre indice de réfraction:

n1.sin(i1) = n2.sin(i2) donc:

n1 = (n2.sin(i2))/sin(i1)

ou

n2 = (n1.sin(i1))/sin(i2)

Réflexion totale

L’expression de l’angle de réfraction ( i2 = arcsin (( n1.sin(i1)) / n2 ) ) implique que l’expression (n1.sin(i1)) / n2 soit inférieure à “1”, ce qui est toujours le cas lorsque le deuxième milieu est plus réfringent ( n2 > n1 ) mais dans le cas contraire:

• sin (i1) ne peut pas prendre une valeur supérieure à n2/n1 (dans ce cas n1.sin(i1) / n2 = (n1/n2 . n2/n1) = 1 )
• l’angle d’incidence i1 ne peut donc lui-même pas dépasser la valeur limite i1_lim = arcsin (n2/n1)
• si la valeur limite précédente est dépassée par l’angle d’incidence alors le phénomène de réfraction ne peut se produire, la lumière n’est plus transmise au deuxième milieu: elle est entièrement réfléchie.

Lorsque l’indice de réfraction du deuxième milieu est inférieur à celui du premier alors il existe un angle d’incidence limite i1_lim tel que i1_lim = arcsin (n2/n1) et:

• si i1 < i1_lim alors la réfraction se produit normalement en suivant les lois de Snell-Descartes
• si i1 > i1_lim alors il n’y a plus de réfraction mais une réflexion totale, toute la lumière incidente est réfléchie vers son milieu d’origine.

On peut par exemple observer une réflexion totale lors d’une plongée, l’eau de mer y possède un indice de réfraction supérieur à celui de l’air (1,34 pour l’eau de mer contre 1,00 pour l’air). Par conséquent l’angle limite de réfraction y est  i1_lim = arcsin (1,00/1,34) soit i1_lim = 48,3 °. Tout rayon lumineux se propageant dans l’eau de mer et formant un angle supérieur à 48.3° est réfléchi.