Variations du vecteur vitesse

Cours de physique-chimie | première spécialité

Ce cours correspond à la partie “Interactions fondamentales et introduction à la notion de champ” du programme de première spécialité.

Il est situé dans la partie du programme “Mouvement d’un système

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Vecteur variation de vitesse d’un système

Définition

Lorsqu’un système en mouvement dans un référentiel donné passe d’un point n°1 caractérisé par un vecteur vitesse Latex formula à un point n°2 caractérisé par un vecteur vitesse Latex formula alors le vecteur variation de vitesse correspond à la différence vectorielle des deux vecteurs vitesse.

Notation et unité

Ce vecteur variation de vitesse se note en général Latex formula (Δ est lettre grecque delta majuscule associée aux variations de grandeur)

Sa norme (sa valeur) Latex formula s’exprime dans la même unité qu’une vitesse: en mètre par seconde (m.s-1)

Expression du vecteur variation de vitesse

D’après sa définition on peut exprimer le vecteur vitesse par la relation:

Latex formula

Les vecteur vitesse peuvent être déterminés graphiquement ( voir cours de seconde sur la description d’un mouvement: http://webphysique.fr/decrire-mouvement/ )

Détermination graphique du vecteur variation de vitesse

Le vecteur variation de vitesse peut aussi être déterminé graphiquement par soustraction du vecteur vitesse n°2 au vecteur vitesse n°1.

Cette soustraction revient à ajouter le vecteur n°2 à l’opposée du vecteur n°1, c’est à dire un vecteur de même direction et longueur que le vecteur n°1 mais de sens opposé

Cette soustraction se fait en général par construction graphique. (voir exemple ci-dessous)

  • Etape n°1: tracer le vecteur vitesse Latex formula du point n°1 et le vecteur vitesse Latex formula du point n°2
Tracer du vecteur variation de vitesse étape 1
Tracé du vecteur variation de vitesse étape 1
  • Etape n°2: reporter le vecteur vitesse Latex formula et construire le vecteur vitesse Latex formula qui correspond à l’opposé du vecteur vitesse Latex formula (même direction, même longueur même sens opposé)
Tracer du vecteur variation de vitesse étape 2
Tracé du vecteur variation de vitesse étape 2
  • Etape n°3: réaliser graphiquement la somme Latex formula en traçant le vecteur Latex formula à la suite du vecteur Latex formula (l’origine du vecteur Latex formula correspond à la pointe de la flèche du vecteur Latex formula ).
Tracer du vecteur variation de vitesse étape 3
Tracé du vecteur variation de vitesse étape 3

Etape 4: le vecteur variation de vitesse Latex formula est obtenu en joignant l’origine du vecteur Latex formula à la pointe du vecteur Latex formula .

Tracer du vecteur variation de vitesse étape 4
Tracer du vecteur variation de vitesse étape 4

Cas particulier d’un mouvement rectiligne

Dans le cas particulier d’un mouvement rectiligne, c’est à dire d’un mouvement dont la trajectoire est une droite, alors:

Vecteur force totale

Le vecteur force totale peut aussi parfois être appelé “résultante des forces”.

Notation et unité

Il se se note note en général Latex formula (tot pour “totale”) et l’unité de sa norme est celle d’une force: le Newton (N).

Définition

Il correspond à la somme des vecteurs forces qui s’appliquent au système étudié.

Expression du vecteur force totale

Si le système étudié n’est soumis à aucune force alors Latex formula = Latex formula

Si le système n’est soumis qu’à une seule force Latex formula (le poids par exemple) alors Latex formula = Latex formula

Si le système est soumis à deux forces (Latex formula et Latex formula) alors Latex formula= Latex formula + Latex formula

Si le système est soumis à trois forces ( Latex formula, Latex formula et Latex formula) alors Latex formula = Latex formula + Latex formula + Latex formula etc ….

On peut aussi noter d’une manière plus générale que Latex formula = Latex formula

Détermination du vecteur force total



Il peut être obtenu graphiquement en additionnant les les différents vecteurs forces, c’est à dire en les représentant les uns à la suite des autres.

Exemples de détermination graphique du vecteur force totale pour un système soumis à trois forces (Latex formula, Latex formula et Latex formula).

Tracé du vecteur force totale - étape n°1
Tracé du vecteur force totale – étape n°1
  • Etape n°2: Additionner les trois vecteurs forces, Latex formula est représenté en premier, Latex formula est représenté à la suite de Latex formula (en faisant coïncider son origine avec la pointe de Latex formula ). Latex formula est représenté à la suite de Latex formula , ( en faisant coïncider l’origine de Latex formula avec la pointe de Latex formula )
Tracé du vecteur force totale - étape n°2
Tracé du vecteur force totale – étape n°2
  • Etape n°3: l’origine du vecteur Latex formula est joint à l’extrémité du vecteur Latex formula pour obtenir le vecteur force totale Latex formula
Tracé du vecteur force totale - étape n°3
Tracé du vecteur force totale – étape n°3

Relation entre le vecteur variation de vitesse et la force totale

Conditions d’utilisation

Cette relation est vérifiée pour deux points voisins (dans l’espace et dans le temps) de la trajectoire du système en mouvement étudié.

Elle peut aussi être vérifiée pour deux points quelconques d’une trajectoire (aussi éloignés qu’on le souhaite) dans le cas particulier d’un système soumis à des forces constantes (en valeur, en direction et en sens)

Formule

On considère deux points très voisins de la trajectoire d’un système de masse “m” étudié dans un référentiel où:

  • Le point n°1 est atteint à la date t1 le vecteur vitesse est Latex formula
  • Le point n°2 est atteint à la date t2 le vecteur vitesse est Latex formula
  • Entre ces deux points le système est soumis à une force totale Latex formula

Il existe alors la relation qui se traduit par la relation suivante:

Latex formula

Il s’agit d’une relation vectorielle (entre le vecteur variation de vitesse et le vecteur force totale) où :

  • m est la masse du système (en kg)
  • Latex formula est le vecteur variation de vitesse avec Latex formula = Latex formulaLatex formula où la norme du vecteur Latex formula s’exprime en mètre par seconde (m.s-1)
  • Δt est la durée du mouvement du point 1 au point 2 avec Δt = t2 – t1 qui s’exprime en seconde (s)
  • Latex formula est le vecteur force totale dont la norme s’exprime en Newton (N)

Cette relation peut aussi s’exprimer sous forme algébrique:

Latex formula

Cas particulier d’un système soumis à des forces constantes

Si lors d’un mouvement la force totale est constante, c’est à dire qu’elle garde la même direction, le même sens et la même valeur, alors la relation précédente ne s’applique plus seulement à deux points voisins de la trajectoire mais à deux points quelconques de la trajectoire.

Si Latex formula est constante alors la relation est valable entre n’importe quelle paire de points de la trajectoire.

Dans quel but utiliser cette relation ?

  • Elle permet d’étudier l’évolution du vecteur vitesse lorsque les caractéristiques (valeurs, directions, sens) de la force totale sont connues. Elle permet, en particulier, de déterminer si le mouvement est accéléré (vitesse crosisante) ou ralenti (vitesse décroissante).
  • Elle permet aussi de déterminer la force totale exercée sur un système en mouvement lorsque l’évolution de sa vitesse est connue.

Déterminer le vecteur variation de vitesse à partir de la force totale

Formule utilisée pour calculer le vecteur variation de vitesse

D’après la relation suivante:

Latex formula

On peut isoler le vecteur variation de vitesse et obtenir son expression:

Latex formula

Utiliser la formule pour trouver le vecteur variation de vitesse

Pour déterminer le vecteur variation de vitesse il faut donc:

  • connaître la durée (Δt) du mouvement étudié (en seconde).
  • connaître la masse du système étudié (en seconde).
  • déterminer la force totale qui s’exerce du le système pendant son mouvement.

La formule (du paragraphe précédent) est utilisé pour trouver d’une part la direction du vecteur variation de vitesse et d’autre part la norme de ce vecteur.

Il résulte de cette relation que le vecteur variation de vitesse Latex formula:

  • a même direction que le vecteur force totale Latex formula
  • a pour valeur Latex formula

Interprétation

Que peut-on déduire l’expression du vecteur variation de vitesse ?

Cette relation indique que:

  • La variation du vecteur vitesse se fait dans le même sens que la force totale, par conséquent si la force totale a une direction et un sens identiques à ceux du vecteur vitesse alors la vitesse augmente (et inversement si leur sens sont opposés alors la vitesse diminue)
  • La variation de vitesse est d’autant plus importante que la masse du système est faible.
  • La variation de vitesse est proportionnelle à la durée, si celle-ci augmente alors la variation de vitesse augmente aussi.

Cas où la somme des forces est nulle

Si la force totale est nulle alors l’expression du vecteur variation de vitesse devient:

Latex formula

Latex formula

Latex formula


Par conséquent le vecteur vitesse:

  • garde la même direction
  • garde la même valeur

Dans ces conditions le mouvement est rectiligne uniforme.

On peut interpréter ce résultat en indiquant que si un système est soumis à une force totale nulle (autrement dit à des forces qui se compensent) alors le mouvement du système est rectiligne uniforme: on retrouve ainsi le principe d’inertie déjà vu en seconde.

Le principe d’inertie est une conséquence de la relation entre la variation de vitesse et la force totale

Cas où la somme des forces est constante

Voir pargaphe consacré à l’étude du mouvement d’un système soumis à une force totale constante.

Déterminer la force totale

D’après la relation suivante:

Latex formula

ou encore

Latex formula

D’après cette relation, le vecteur force totale:

  • a même direction et même sens que le vecteur variation de vitesse
  • a une norme qui peut être calculée grâce à la relation: Latex formula

Mouvement d’un système soumis à une force totale constante

Caractéristiques d’une force totale constante

La force totale est constante si le vecteur force totale garde au cours du mouvement:

  • la même direction
  • le même sens
  • la même norme

Exemples de forces totales constantes

Exemple de situations de mouvement d’un système soumis à une force totale constante:

  • Un objet en chute libre (avec frottements de l’air négligeables), la seule force est alors le poids de l’objet qui reste constant.
  • Un projectile lancé (avec frottements de l’air négligeables), lui aussi n’est soumis qu’à son propre poids qui reste constant.
  • Un objet qui glisse sans frottement sur une pente d’angle constant (la force de contact du sol et le poids restent constants tout comme la force totale qui en résulte)
  • Un corps glissant sans frottement sur une surface plane tracté (ou poussé) grâce à une force constante.

Variation de la vitesse

Comme pour n’importe quel mouvement il existe la relation suivante lorsque le système passe d’une point de sa trajectoire à un point voisin:

Latex formula

On peut aussi écrire, du point 1 au point 2:

Latex formula

du point point 2 au point 3:

Latex formula

Par conséquent, si l’on ajoute les deux égalités, on obtient:

Latex formula

Puisque la force totale est constante il est possible de factoriser le terme où elle intervient:

Latex formula

Latex formula

Latex formula


Latex formula

On montre ainsi que l’expression de la variation de vitesse est valable aussi du point 1 au point 3.

En procédant de manière similaire on pourrait montrer que l’expression de la variation de vitesse est valable:

  • entre les points 1 et 4
  • entre les points 1 et 5
  • entre les points 1 et 20
  • entre les point 9 et 15
  • entre les points 7 et 13
  • entres tous les couples de points de la trajectoire !

Plus généralement, lorsque la force totale est constante, la relation entre la variation de vitesse et la force totale est valable entre deux points quelconques de la trajectoire, quel que soit leur éloignement et le temps écoulé.

si au début de son mouvement (t0 = 0 s) le système se trouve au point n°0 et possède une vitesse v0 et si le système atteint le point n° “n” avec une vitesse vn au bout d’un temps tn alors on a la relation suivante

Latex formula

Latex formula

Latex formula

Système immobile au début de son mouvement

Cette situation correspond par exemple à celle d’un corps en chute libre laché sans vitesse initiale.

Dans ce cas la vitesse initiale (v0) est nulle c’est à dire v0 = 0 et la vitesse en un point “n” de la trajectoire est:

Latex formula

Latex formula

Latex formula

On en déduit donc dans ce cas que:

Cas d’une vitesse initiale ayant même sens et direction que la force totale

Cette situation correspond par exemple à celle corps lancé vers le bas.

L’expression algébrique de la vitesse v au point “n” devient:

Latex formula

La vitesse est donc croissante au cours du mouvement, elle est une fonction linéaire du temps écoulé.

Cas d’une vitesse initiale et d’une force totale de même direction et de sens opposés

Cette situation correspond par exemple à celle corps lancé vers verticalement vers le haut.

L’expression algébrique de la vitesse au point “n” devient:

Latex formula

Un tel mouvement se fait trois phases:

  • Lors de la première phase la vitesse garde le même sens et la même direction qu’au début de son mouvement mais sa valeur diminue.
  • La vitesse finit pas devenir nulle au bout d’un temps tn = v0 x m Latex formula
  • La vitesse augmente alors et possède la même direction qu’au début de son mouvement mais en pointant dans la direction opposée

A réviser

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